Question

3．已知函數f（x）=lnx+x²．
（1）求函數h（x）=f（x）-3x的極值；
（2）若函數g（x）=f（x）-ax在定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）設F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且x₀=$\frac{m+n}{2}$，問：函數F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得h（x）的導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，進而得到極值；
（2）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉化成g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據二次函數的圖象與性質可求出實數a的取值范圍；
（3）對于能否問題，可先假設能，即設F（x）在（x₀，F（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx結合題意，列出方程組，證得函數y=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$在（0，1）上單調遞增，最后出現矛盾，說明假設不成立，即切線不能否平行于x軸．

解答 解：（1）由已知，$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$，
令$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=0，得$x=\frac{1}{2}，或x=1$，
∴h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$單調遞增，在$（{\frac{1}{2}，1}）$單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
∴h（x）_極小值=h（1）=-2，$h{（x）_{極大值}}=h（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$；
（2）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
∴g'（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a，定義域：（0，+∞），
∴m（x）=1+2x²-ax≥0在（0，+∞）成立．
1+2x²-ax的對稱軸：x=$\frac{a}{4}$，
當a≤0時，只要最小值m'（0）=1＞0即可；
當a＞0時，m'（$\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}}{8}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1≥0則$\frac{{a}^{2}}{8}$≤1，
解得0＜a≤2$\sqrt{2}$，
綜上a≤2$\sqrt{2}$；
（3）假設函數F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線平行于x軸，
F（x）=2lnx-x²-kx，依題意，2lnm-m²-km=0；2lnn-n²-kn=0，
相減得2ln$\frac{m}{n}$-（m+n）（m-n）=k（m-n），
${F^/}（{x_0}）=\frac{2}{x_0}-2{x_0}-k=0$，∴$k=\frac{2}{x_0}-2{x_0}$，
又m+n=2x₀，$k=\frac{4}{m+n}-（m+n）$
所以ln$\frac{m}{n}$=$\frac{2（m-n）}{m+n}$=$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，
設u=$\frac{m}{n}$∈（0，1），y=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$（u∈（0，1）），
y′=$\frac{1}{u}$-$\frac{2（u+1）-2（u-1）}{（u+1）^{2}}$=$\frac{（u-1）^{2}}{u（u+1）^{2}}$＞0
設y=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$（u∈（0，1）），
所以函數y=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$在（0，1））上單調遞增，
因此，當0＜u＜1時，y＜0，
即lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$＜0  
也就是ln$\frac{m}{n}$＜$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，
所以ln$\frac{m}{n}$=$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$無解．
所以F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線不能平行于x軸．

點評 利用導數工具討論函數的單調性，是求函數的值域和最值的常用方法，本題還考查了分類討論思想在函數題中的應用，同學們在做題的同時，可以根據單調性，結合函數的草圖來加深對題意的理解．