Question

13．設函數$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，則下列命題：
①f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{3}$對稱；
②f（x）的圖象關于點$（{\frac{π}{6}，0}）$對稱；
③f（x）的最小正周期為π，且在區間$[{0，\frac{π}{12}}]$上為增函數；
④把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度，得到一個奇函數的圖象．
其中正確的命題的序號為③④．（把正確的都填上）

Answer 1

分析 ①計算f（$\frac{π}{3}$）的值，判斷$x=\frac{π}{3}$是否為f（x）圖象的對稱軸；
②計算f（$\frac{π}{6}$）的值，判斷f（x）的圖象是否關于點$（{\frac{π}{6}，0}）$對稱；
③求出f（x）的最小正周期，判斷f（x）在區間$[{0，\frac{π}{12}}]$上的單調性；
④根據平移法則，求出f（x）圖象平移的解析式即可．

解答 解：對于①，x=$\frac{π}{3}$時，f（$\frac{π}{3}$）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$不是最值，
∴f（x）的圖象不關于直線$x=\frac{π}{3}$對稱，①錯誤；
對于②，f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=1≠0，
∴f（x）的圖象不關于點$（{\frac{π}{6}，0}）$對稱，②錯誤；
對于③，T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，∴f（x）的最小正周期為π，
又x∈[0，$\frac{π}{12}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在區間$[{0，\frac{π}{12}}]$上為增函數，③正確；
對于④，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度，
得y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，是奇函數的圖象，④正確．
綜上，正確的命題序號為③④．
故答案為：③④．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是綜合題．