Question

8．已知a為常數，函數f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）內有兩個極值點，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． $（-∞，\frac{e}{3}）$
• B． $（\frac{e}{3}，{e^2}）$
• C． $（\frac{e}{3}，\frac{e^2}{6}）$
• D． $（\frac{e}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導數，問題轉化為y=a和g（x）在（0，2）有2個交點，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=（x-2）（3ax-e^x），
若f（x）在（0，2）內有兩個極值點，
即a=$\frac{{e}^{x}}{3x}$在（0，2）有2個解，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{3x}$，x∈（0，2），
問題轉化為y=a和g（x）在（0，2）有2個交點，
則g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{3x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，2）遞增，
故g（x）_min=g（1）=$\frac{e}{3}$，而f（2）=$\frac{{e}^{2}}{6}$，
x→0時，f（x）→+∞，
故a∈（$\frac{e}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{6}$），
故選：C．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．