Question

6．已知函數f（x）=3x+2sinx，x∈（-2，2），如果f（a-1）+f（1-2a）＜0成立，則實數a的取值范圍為$（{0，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 利用導數可判斷函數的單調性，由定義可判斷函數的奇偶性，根據函數的性質可去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式可解．

解答 解：因為f′（x）=2cosx+3＞0恒成立，所以f（x）在R上遞增，
又f（-x）=2sin（-x）+3（-x）=-2sinx-3x=-f（x），
所以f（x）為奇函數，
則f（a-1）+f（1-2a）＜0，可化為f（a-1）＜f（2a-1），
由f（x）遞增，得$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜2a-1}\\{-2＜a-1＜2}\\{-2＜2a-1＜2}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{3}{2}$，
故答案為：$（{0，\frac{3}{2}}）$．

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查抽象不等式的求解，屬中檔題．