Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{{n{a_n}}}{{（{n+1}）（{n{a_n}+1}）}}（{n∈{N^*}}）$，若不等式$\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n}+t{a_n}≥0$恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-$\frac{15}{2}$，+∞）．．

Answer 1

分析 由題意可知，兩邊取倒數(shù)可得：則$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1•{a}_{1}}$=2，
數(shù)列{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．不等式$\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n}+t{a_n}≥0$化為：t≥-（n+$\frac{3}{n}$+4）．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）n{a}_{n}+（n+1）}{n{a}_{n}}$=（n+1）+$\frac{n+1}{n{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1•{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∵不等式$\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n}+t{a_n}≥0$化為：t≥-（n+$\frac{3}{n}$+4）．
∵n+$\frac{3}{n}$+4≥2$\sqrt{n×\frac{3}{n}}$+4=4+2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{3}{n}$時(shí)取等號，
由n∈N*，則當(dāng)n=2時(shí)，n+$\frac{3}{n}$+4取最小，最小值為$\frac{15}{2}$
∴t≥-$\frac{15}{2}$，
故答案為：[-$\frac{15}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．