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6.在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2=b2+bc,則$\frac{a}{b}$的取值范圍是($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).

分析 由已知及余弦定理可得c=b(1+2cosA),從而可求$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2+2cosA}$,由A的范圍,利用余弦函數的圖象和性質可求$\frac{a}{b}$的范圍.

解答 解:∵△ABC中,a2=b2+bc,
又∵由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+bc=b2+c2-2bccosA,整理可得:c=b(1+2cosA),
∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2+2cosA}$>0,
∴A>B
∴A是銳角△ABC中的最大角或是第二大角,
∵在銳角△ABC中,A∈($\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$),cosA∈(0,$\frac{1}{2}$),可得:2+2cosA∈(2,3),
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2+2cosA}$∈($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).
故答案為:($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).

點評 此題考查了余弦定理,余弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用,熟練掌握定理是解本題的關鍵,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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