Question

13．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤2}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，則$\frac{y-2}{x-4}$的取值范圍是（　　）

• A． [0，3]
• B． [$\frac{1}{3}$，3]
• C． [$\frac{4}{3}$，4]
• D． [$\frac{1}{3}$，2]

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義結合直線的斜率公式進行求解即可．

解答 解：作出變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤2}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，對應的平面區域，
z=$\frac{y-2}{x-4}$的幾何意義是區域內的點到定點D（4，2）的斜率，
由圖象知DA的斜率最大，DB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$解得A（3，-1），由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x+y=2}\end{array}\right.$解得B（1，1）
∴z的最大值為z=$\frac{-1-2}{3-4}$=3，z的最小值為z=$\frac{1-2}{1-4}$=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{y-2}{x-4}$的取值范圍是的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，3]，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用直線斜率的幾何意義以及數形結合是解決本題的關鍵．