Question

4．已知函數f（x）=lnx-a（x-1），a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x＞0時，f（x）≤0恒成立；
（1）求a的值；
（2）若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）（1）求出f（x）的最大值，得到f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-a（$\frac{1}{a}$-1）=a-1-lna≤0，令F（a）=a-1-lna，根據函數的得到求出a的值即可；
（2）令F（x）=f（x）-f（2-x），（0＜x＜2），求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，（x＞0），
（1）a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
（2）a＞0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（Ⅱ）（1）∵f（x）=lnx-a（x-1）≤0恒成立，
∴f（2）=ln2-a≤0，故a≥ln2＞0，
a＞0時，由（Ⅰ）得f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-a（$\frac{1}{a}$-1）=a-1-lna≤0，
令F（a）=a-1-lna，則F′（a）=1-$\frac{1}{a}$，
令F′（a）≥0，解得：a≥1，
故F（a）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故F（a）≥F（1）=0，
∴a-1-lna≥0，∵a-1-lna≤0，
∴a-1-lna=0，故a=1；
（2）不妨設x₁＜x₂，∵f（x）=lnx-（x-1）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
又∵f（x₁）=f（x₂），∴0＜x₁＜1＜x₂，
令F（x）=f（x）-f（2-x），（0＜x＜2），
則F′（x）=$\frac{2}{{-（x-1）}^{2}+1}$-2≥0，
∴F（x）在（0，2）遞增，
∵0＜x₁＜1，∴F（x₁）＜F（1）=0，
∴f（x₁）-f（2-x₁）＜0，f（x₁）＜f（2-x₁），
又∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₂）＜f（2-x₁），
∵x₂＞1，2-x₁＞1，f（x）在（1，+∞）遞減，
∴x₂＞2-x₁，
故x₁+x₂＞2．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想以及不等式的證明，是一道中檔題．