Question

14．若一個三角形兩內角α、β滿足2α+β=π，則y=cosβ-6sinα的范圍為（-5，-1）．

Answer 1

分析 先由：2α+β=π，結合配方法將y=cos（π-2α）-6siα轉化為：y=2（sinα-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，再令t=sinα∈（0，1），用二次函數的性質求解．

解答 解：∵一個三角形兩內角α、β滿足2α+β=π，∴α、β均大于零，∴2α＜π，∴α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
則y=cosβ-6sinα=cos（π-2α）-6sinα
=-cos2α-6sinα=2sin²α-6sinα-1=2（sinα-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，
令t=sinα，根據α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得t∈（0，1），則y=2${（t-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{11}{2}$，
∴當t=0時，y=-1；當t=1時，y=-5，且函數y在（0，1）上單調遞減，
∴y∈（-5，-1），
故答案為：（-5，-1）．

點評 本題主要考查角的變換及倍角公式在轉化函數中的應用，一般來講考查函數的性質時要轉化為基本函數求解，要特別注意α的范圍，這是解題的易錯點，屬于中檔題．