Question

6．已知向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$，$\overrightarrow{γ}$ 滿足|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），（$\overrightarrow{α}$-$\overrightarrow{γ}$）⊥（$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{γ}$），若|$\overrightarrow{β}$|=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，|$\overrightarrow{γ}$|的最大值和最小值分別為m，n，則m+n等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{2}$

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{α}$放入平面直角坐標(biāo)系中，使$\overrightarrow{α}$起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，方向與x軸正方向一致，得$\overrightarrow{α}$=（1，0）；設(shè)$\overrightarrow{β}$=（x₁，y₁），求出$\overrightarrow{β}$的坐標(biāo)表示，再設(shè)$\overrightarrow{γ}$=（x，y），利用坐標(biāo)表示（$\overrightarrow{α}$-$\overrightarrow{γ}$）•（$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{γ}$）=0，求出點(diǎn)（x，y）表示的幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合求出|$\overrightarrow{γ}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$的最大值m和最小值n，求和即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$，$\overrightarrow{γ}$ 滿足|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），
∴$\overrightarrow{α}$•（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）=${\overrightarrow{α}}^{2}$-2$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=1-2$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=0，
∴$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=$\frac{1}{2}$；
把$\overrightarrow{α}$放入平面直角坐標(biāo)系，使$\overrightarrow{α}$起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，方向與x軸正方向一致，
則$\overrightarrow{α}$=（1，0）；
設(shè)$\overrightarrow{β}$=（x₁，y₁），則$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=x₁=$\frac{1}{2}$，
且|$\overrightarrow{β}$|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{{+y}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴y₁=±2，不妨取$\overrightarrow{β}$=（$\frac{1}{2}$，2）；
設(shè)$\overrightarrow{γ}$=（x，y），則$\overrightarrow{α}$-$\overrightarrow{γ}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{γ}$=（$\frac{1}{2}$-x，2-y），
由題意（$\overrightarrow{α}$-$\overrightarrow{γ}$）•（$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{γ}$）=0，
∴（1-x）（$\frac{1}{2}$-x）-y（2-y）=0，
化簡(jiǎn)得，x²+y²-$\frac{3}{2}$x-2y+$\frac{1}{2}$=0，即${（x-\frac{3}{4}）}^{2}$+（y-1）²=$\frac{17}{16}$，
則點(diǎn)（x，y）表示圓心在（$\frac{3}{4}$，1），半徑為$\frac{\sqrt{17}}{4}$的圓上的點(diǎn)，
如圖所示，

則|$\overrightarrow{γ}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$的最大值為m=|OC|+r=$\sqrt{{（\frac{3}{4}）}^{2}{+1}^{2}}$+$\frac{\sqrt{17}}{4}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
最小值為n=|OC|-r=$\sqrt{{（\frac{3}{4}）}^{2}{+1}^{2}}$-$\frac{\sqrt{17}}{4}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{\sqrt{17}}{4}$；
∴m+n=$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解法方法，是較難的題目．