Question

11．某中學(xué)高二年級共有8個班，現(xiàn)從高二年級選10名同學(xué)組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高二（1）班選取3名同學(xué)，其它各班各選取1名同學(xué)．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．
（1）求選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率；
（2）設(shè)x為選出的同學(xué)來自高二（1）班的人數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列
（3）變量x的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析 （1）通過分類討論可得：P=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{7}^{2}+{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$；
（2）由題意可得：X的取值分別為0，1，2，3．利用超幾何分布列計(jì)算公式即可得出．
（3）利用數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）P=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{7}^{2}+{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{49}{60}$；
（2）由題意可得：X的取值分別為0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{7}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{7}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（X=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
可得X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

（3）由（2）可得EX=0×$\frac{7}{24}$+1×$\frac{21}{40}$+2×$\frac{7}{40}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$，
DX=$（0-\frac{9}{10}）^{2}×\frac{7}{24}$+$（1-\frac{9}{10}）^{2}$×$\frac{21}{40}$+$（2-\frac{9}{10}）^{2}$×$\frac{7}{40}$+$（3-\frac{9}{10}）^{2}$×$\frac{1}{120}$=$\frac{93}{200}$．

點(diǎn)評 本題考查了互斥事件與相互獨(dú)立事件計(jì)算公式、超幾何分布列計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．