Question

20．已知函數$f（x）=2{sin^2}（{x-\frac{π}{6}}）-1$（x∈R），則下列結論正確的是（　　）

• A． 函數f（x）是最小正周期為π的奇函數
• B． 函數f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{12}$對稱
• C． 函數f（x）在區間$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$上是增函數
• D． 函數f（x）的圖象關于點$（{-\frac{π}{12}，0}）$對稱

Answer 1

分析 將函數f（x）化簡，根據三角函數的圖象和性質判斷即可．

解答 解：函數$f（x）=2{sin^2}（{x-\frac{π}{6}}）-1$=-cos2（x-$\frac{π}{6}$）=-cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（-x）=-cos（-2x-$\frac{π}{3}$）=-cos（2x+$\frac{π}{3}$）≠-f（x），不是奇函數，A不對．
當x=$\frac{π}{12}$時，即f（$\frac{π}{12}$）=-cos（2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不是最值，B不對．
由f（x）在$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}$是單調遞減，可得：$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}$．∴函數f（x）在區間$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$上是減函數，C不對．
當x=-$\frac{π}{12}$時，即f（-$\frac{π}{12}$）=-cos（-2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-cos$\frac{π}{2}$=0．函數f（x）的圖象關于點$（{-\frac{π}{12}，0}）$對稱．D對．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數的圖象和性質的運用，屬于基礎題．