Question

5．已知${S_n}=1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+…+\frac{1}{1+2+3+…+n}$，則S₂₀=（　　）

• A． $\frac{20}{21}$
• B． $\frac{19}{20}$
• C． $\frac{38}{20}$
• D． $\frac{40}{21}$

Answer 1

分析 根據等差數列的求和公式化簡$\frac{1}{1+2+3+…+n}$，再利用裂項法求和即可．

解答 解：設a_n=$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{1}{\frac{（n+1）n}{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
∴S₂₀=a₁+a₂+…+a₂₀=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{21}$）
=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{21}$）
=2（1-$\frac{1}{21}$）=$\frac{40}{21}$．
故選：D．

點評 本題考查了等差數列的性質，裂項法求和，屬于中檔題．