Question

13．若方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=a在x∈[0，π]上有兩個不同的實數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [1，2）
• B． （1，2]
• C． [-1，0]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=a在x∈[0，π]上有兩個不同的實數解，看成是函數y₁=$\sqrt{3}$sinx-cosx與函數y=a在x∈[0，π]上有兩個不同的交點，利用函數y₁的圖象，數形結合可得答案．

解答 解：由題意，方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=a在x∈[0，π]上有兩個不同的實數解，看成是函數y=$\sqrt{3}$sinx-cosx與函數y₁=a在x∈[0，π]上有兩個不同的交點，
∴y=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[0，π]上，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
令x-$\frac{π}{6}$=u，則y=2sinu的圖象如下：
從圖象可以看出：直線y₁=a與y=2sinu有兩個交點，
則：1≤a＜2．
故選：A

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，三角函數方程有解問題轉化為圖象交點問題，考查了數形結合的思想．屬于中檔題．