Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，3），x∈R．
（1）當$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$時，求實數λ和tanx的值；
（2）設函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求f（x）的最小正周期和單調遞減區間．

Answer 1

分析 （1）根據向量的運算性質，向量相等即可求解．
（2）根據函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求出f（x）的解析式，即可求出f（x）的最小正周期和單調遞減區間．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，3），x∈R．
當$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$時，可得$\left\{\begin{array}{l}{λsinx=2cosx}\\{λ×1=3}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=3}\\{3sinx=2cosx}\end{array}\right.$，即tanx=$\frac{2}{3}$．
（2）函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
∴f（x）=2sinxcosx+3=sin2x+3．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
∵f（x）單調遞減．
則$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$kπ+\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}+kπ$．
∴f（x）的單調遞減區間為[$kπ+\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題主要考查向量的性質以及三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．