Question

3．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，點（a_n，S_n）（n∈N^*）都在函數f（x）=$\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x-\frac{15}{4}$的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n•3ⁿ，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用點與函數的關系，推出遞推關系式，然后求解通項公式．
（2）化簡數列的通項公式，利用錯位相減法求和即可．

解答 解：（1）由題可得${S_n}=\frac{1}{4}{a_n}^2+\frac{1}{2}{a_n}-\frac{15}{4}$
當n≥2時，${S_{n-1}}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}-\frac{15}{4}$
所以${a_n}=\frac{1}{4}{a_n}^2+\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{4}{a_{n-1}}^2-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$…（2分）
所以${a_n}^2-2{a_n}-{a_{n-1}}^2-2{a_{n-1}}=0$
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
因為a_n＞0
所以a_n-a_n-1=2…（4分）
當n=1時，${S_1}=\frac{1}{4}{a_1}^2+\frac{1}{2}{a_1}-\frac{15}{4}$，所以${a_1}^2-2{a_1}-15=0$
因為a₁＞0，所以a₁=5…（5分）
所以數列{a_n}是以5為首項，2為公差的等差數列．
所以a_n=5+2（n-1）=2n+3…（6分）
（2）由（1）可得${b_n}=（{2n+3}）•{3^n}$…（7分）
${T_n}=5×3+7×{3^2}+9×{3^3}+…+（{2n+3}）•{3^n}$
$3{T_n}=5×{3^2}+7×{3^3}+9×{3^4}+…+（{2n+3}）•{3^{n+1}}$…（8分）
所以$-2{T_n}=5×3+2×{3^2}+2×{3^3}+2×{3^4}+…+2×{3^n}-（{2n+3}）•{3^{n+1}}$
=$15+2×\frac{{9（{1-{3^{n-1}}}）}}{1-3}-（{2n+3}）•{3^{n+1}}$…（10分）
=6-（2n+2）•3ⁿ⁺¹    …（11分）
所以${T_n}=（{n+1}）•{3^{n+1}}-3$…（12分）

點評 本題考查數列與函數相結合，遞推關系式以及數列求和的方法，考查分析問題解決問題的能力．