Question

13．設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n為數列{a_n}的前n和．
（1）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（2）求數列{a_n}的通項公式
（3）設b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ為非零整數，n∈N*）試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，…①
              a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，…②
①-②得${{a}_{n}}^{3}=（{s}_{n}-{s}_{n-1}）（{s}_{n}+{s}_{n-1}）$=a_n（s_n+s_n-1），即可得a_n²=2S_n-a_n；
 （2）由（1）得a_n²=2S_n-a_n…③
當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1…④
③-④得 數列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數列．
（3）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．
要使b_n+1＞b_n成立．即$_{n+1}-_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}+（-1）^{n}λ•{2}^{n+1}$-（-1）^n-1λ•2ⁿ
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．
可得（-1）^n-1λ$＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．分n為奇數，n為偶數討論即可．

解答 解：（1）證明：由已知得，當n=1時，${{a}_{1}}^{3}={{a}_{1}}^{2}$
∴a₁＞0，∴a₁=1
當n≥2時，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，…①
              a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，…②
①-②得${{a}_{n}}^{3}=（{s}_{n}-{s}_{n-1}）（{s}_{n}+{s}_{n-1}）$=a_n（s_n+s_n-1）
∵a_n＞0，∴${{a}_{n}}^{2}={s}_{n}+{s}_{n-1}$
又∵s_n-1=s_n-a_n，∴a_n²=2S_n-a_n；
當n=1時，a₁=1適合上式．
綜上，a_n²=2S_n-a_n
（2）由（1）得a_n²=2S_n-a_n…③
當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1…④
③-④得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=2（s_n-s_n-1）-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1
∴數列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數列．
∴a_n=n；
（3）∵a_n=n，∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．
要使b_n+1＞b_n成立．即$_{n+1}-_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}+（-1）^{n}λ•{2}^{n+1}$-（-1）^n-1λ•2ⁿ
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．
可得（-1）^n-1λ$＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．
①當n為奇數時，$λ＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$，即$λ＜（\frac{3}{2}）^{0}=1$
②當n為偶數時，$λ＞-（\frac{3}{2}）^{n-1}$，∴$λ＞-\frac{3}{2}$．
∴$-\frac{3}{2}＜λ＜1$，且λ為非零整數，∴λ=-1．

點評 本題考查了數列的遞推式、數列不等式的恒成立問題，考查了轉化思想、運算能力，屬于中檔題，