Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0）
（1）當a=2時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）證明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）≥4．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，求不等式即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3，再利用對值的意義求得它的解集．
（2）由條件利用絕對值三角不等式、基本不等式，證得要證的結(jié)論．

解答 解：（1）當a=2時，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3．
而|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|表示數(shù)軸上的x對應點到-2、-$\frac{1}{2}$對應點的距離之和，
而0和-3對應點到-$\frac{11}{4}$、$\frac{1}{4}$對應點的距離之和正好等于3，
故不等式f（x）＞3的解集為{x|x＜-$\frac{11}{4}$，或 x＞$\frac{1}{4}$}．
（2）證明：∵f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a||-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
=（|m+a|+|-$\frac{1}{m}$+a|）+（|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|）≥2（|m+$\frac{1}{m}$|）=2（|m|+|$\frac{1}{m}$|）≥4，
∴原結(jié)論成立．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式、基本不等式的應用，屬于中檔題