Question

12．已知函數y=xe^x+x²+2x+a恰有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$+1]
• B． （-∞，$\frac{1}{e}$+1）
• C． （$\frac{1}{e}$+1，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函數的零點就是方程法根，轉化求解函數g（x）的值域，然后推出a的范圍即可．

解答 解：函數y=xe^x+x²+2x+a恰有兩個不同的零點，
就是xe^x+x²+2x+a=0恰有兩個不同的實數解，
設：g（x）=xe^x+x²+2x，
則g′（x）=e^x+xe^x+2x+2，
=（x+1）（e^x+2），
x＜-1，g′（x）＜0，函數是減函數，x＞-1，g′（x）＞0，函數是增函數，
函數的最小值為：g（-1）=-1-$\frac{1}{e}$，
則a＜1+$\frac{1}{e}$．
函數y=xe^x+x²+2x+a恰有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為：（-∞，$\frac{1}{e}$+1）．
故選：B．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．