Question

20．已知函數f（x）=（sinx+cosx）cosx，則下列說法正確的為（　　）

• A． 函數f（x）的最小正周期為2π
• B． f（x）在[$\frac{5π}{8}$，$\frac{9π}{8}$]單調遞減
• C． f（x）的圖象關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱
• D． 將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度后會得到一個奇函數的圖象

Answer 1

分析 化函數f（x）為正弦型函數，再判斷選項中的命題是否正確．

解答 解：函數f（x）=（sinx+cosx）cosx
=sinxcosx+cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴A錯誤；
x∈[$\frac{5π}{8}$，$\frac{9π}{8}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]，
f（x）是單調遞增函數，∴B錯誤；
當x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$，
∴x=-$\frac{π}{6}$不是f（x）的對稱軸，C錯誤；
將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2[（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]+$\frac{1}{2}$的圖象，
再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x的圖象，它是奇函數，D正確．
故選：D．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．