Question

10．某市在對高三學生的4月理科數學調研測試的數據統計顯示，全市10000名學生的成績服從正態分布X～N（110，144），現從甲校100分以上的200份試卷中用系統抽樣的方法抽取了20份試卷來分析，統計如下：

試卷編號	n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
試卷得分	109	118	112	114	126	128	127	124	126	120
試卷編號	n11	n12	n13	n14	n15	n16	n17	n18	n19	n20
試卷得分	135	138	135	137	135	139	142	144	148	150

（注：表中試卷編號n₁＜n₂＜28＜n₄＜n₅＜…＜n₂₀）

（1）列出表中試卷得分為126分的試卷編號（寫出具體數據）；
（2）該市又從乙校中也用系統抽樣的方法抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖（如圖），試通過莖葉圖比較兩校學生成績的平均分及分散程度（均不要求計算出具體值，給出結論即可）；
（3）在第（2）問的前提下，從甲乙兩校這40名學生中，從成績在140分以上（含140分）的學生中任意抽取3人，該3人在全市前15名的人數記為ξ，求ξ的分布列和期望．
（附：若隨機變量X服從正態分布N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=99.7%）

Answer 1

分析 （1）根據分層抽樣的抽取編號為等差數列可知n₅和n₉的值；
（2）根據莖葉圖的數據集中程度判斷均值和方差；
（3）根據正態分布概率可得146分以上才能進入前15名，利用超幾何分布概率公式得出分布列，從而可求出數學期望．

解答 解：（1）126分的試卷編號分別為48，88．
（2）通過莖葉圖可知：甲校學生成績的平均分高于乙校學生成績的平均分，甲校學生成績比較集中，乙校學生成績比較分散．
（3）∵$\frac{15}{10000}=0.0015$，根據正態分布可知：P（74＜X＜146）=99.7%，
∴$P（X≥146）=\frac{1-99.7%}{2}=0.0015$，即前15名的成績全部在146分以上（含146分）．
根據莖葉圖可知這40人中成績在146分以上（含146分）的有3人，而成績在140分以上（含140分）的有8人．
∴ξ的取值為0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_5^3}{C_8^3}=\frac{5}{28}$，$P（ξ=1）=\frac{C_5^2•C_3^1}{C_8^3}=\frac{15}{28}$，$P（ξ=2）=\frac{C_5^1•C_3^2}{C_8^3}=\frac{15}{56}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_8^3}=\frac{1}{56}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

因此$E（ξ）=0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}=\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了分層抽樣原理，莖葉圖，隨機變量的分布列，屬于中檔題．