Question

19．設函數f（x）=$\frac{{3{x^2}+mx}}{e^x}$（m∈R）．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求實數m的值，并確定f（0）是極大值還是極小值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上單調遞減，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出m的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而判斷出f（0）是極大值還是極小值；
（2）求出函數的導數，問題轉化為m≥$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$在[3，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$，x∈[3，+∞），根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-{3x}^{2}+（6-m）x+m}{{e}^{x}}$，
由f′（0）=0，解得：m=0，
此時，f′（x）=$\frac{-3x（x-2）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
∴f（0）是函數的極小值；
（2）由題意得：f′（x）≤0在[3，+∞）上恒成立，
∴-3x²+（6-m）x+m≤0在[3，+∞）恒成立，
∴m≥$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$在[3，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$，x∈[3，+∞），
∵g′（x）=$\frac{-3{[（x-1）}^{2}+1]}{{（x-1）}^{2}}$＜0，
∴g（x）在[3，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（3）=-$\frac{9}{2}$，
∴m≥-$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．