Question

9．已知函數f（x）=ax²-4ax-lnx，則f（x）在（1，3）上不單調的一個充分不必要條件是（　　）

• A． a∈（-∞，$\frac{1}{6}$）
• B． a∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$）
• D． a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為函數f（x）=ax²-4ax-lnx與x軸在（1，3）有交點，通過討論a的范圍，結合二次函數的性質判斷即可．

解答 解：f′（x）=2ax-4a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-4ax-1}{x}$，
若f（x）在（1，3）上不單調，
令g（x）=2ax²-4ax-1，
則函數g（x）=2ax²-4ax-l與x軸在（1，3）有交點，
a=0時，顯然不成立，
a≠0時，只需$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6a}^{2}+8a≥0}\\{g（1）g（3）＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＞$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及二次函數的性質，是一道中檔題．