Question

6．函數f（x）=x^m（1-x）ⁿ在區間[0，1]上的圖象如圖所示，則m，n的值為（　　）

• A． m=1，n=1
• B． m=1，n=2
• C． m=2，n=1
• D． m=2，n=2

Answer 1

分析 利用函數的圖象，原函數的極大值點小于0.5．把答案代入驗證看哪個對應的極值點符合要求即可得出答案．

解答 解：由于本題是選擇題，可以用代入驗證法來解答，
由圖得，原函數的極大值點小于0.5．
當m=1，n=1時，f（x）=x（1-x）=x-x²．是二次函數在x=$\frac{1}{2}$處有最值，故A錯誤；
當m=1，n=2時，f（x）=x^m（1-x）ⁿ=x（1-x）²=x³-2x²+x，所以f′（x）=（3x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{3}$，x=1，即函數在x=$\frac{1}{3}$處有最值，故B正確；
當m=2，n=1時，f（x）=x^m（1-x）ⁿ=x²（1-x）=x²-x³，有f'（x）=2x-3x²=x（2-3x），令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{2}{3}$，即函數在x=$\frac{2}{3}$處有最值，故C錯誤；
當m=3，n=1時，f（x）=x^m（1-x）ⁿ=x³（1-x）=x³-x⁴，有f′（x）=x²（3-4x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{4}$，即函數在x=$\frac{3}{4}$處有最值，故D錯誤．
故選：B．

點評 本題主要考查函數的最值（極值）點與導函數之間的關系．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．本本題考查利用極值求對應變量的值．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．