Question

16．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G，H分別是AD₁、CD₁、BC、AB的中點．
（Ⅰ）求證：E，F，G，H四點共面；
（Ⅱ）求證：GH⊥B₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC，證明EF∥GH，即可證明E，F，G，H四點共面；
（Ⅱ）連結BD，證明GH⊥平面BDD₁B₁，即可證明GH⊥B₁D．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，連結AC．（1分）
∵E，F分別是AD₁、CD₁的中點，∴EF∥AC．（2分）
∵G，H分別是BC、AB的中點，∴GH∥AC．（3分）
∴EF∥GH．（4分）
∴E，F，G，H四點共面．（5分）
（Ⅱ）連結BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴AC⊥BD，AC⊥DD₁．（7分）
∵BD∩DD₁=D，BD，DD₁?平面BDD₁B₁，∴AC⊥平面BDD₁B₁．（9分）
又∵GH∥AC，∴GH⊥平面BDD₁B₁，（10分）
又∵BD₁?平面BDD₁B₁，∴GH⊥B₁D．（11分）

點評 本題考查空間線線、線面位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．