Question

16．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜0\\-{x^2}+2x，x≥0\end{array}\right.$若關于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}x+m$恰有三個不相等的實數解，則m的取值范圍是$（0，\frac{9}{16}）$．

Answer 1

分析 若關于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}x+m$恰有三個不相等的實數解，則函數f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}x+m$有三個交點，數形結合可得答案．

解答 解：函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜0\\-{x^2}+2x，x≥0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若關于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}x+m$恰有三個不相等的實數解，
則函數f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}x+m$有三個交點，
當直線y=$\frac{1}{2}x+m$經過原點時，m=0，
由y=-x²+2x的導數y′=-2x+2=$\frac{1}{2}$得：x=$\frac{3}{4}$，
當直線y=$\frac{1}{2}x+m$與y=-x²+2x相切時，切點坐標為：（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$），
當直線y=$\frac{1}{2}x+m$經過（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）時，m=$\frac{9}{16}$，
故m∈$（0，\frac{9}{16}）$，
故答案為：$（0，\frac{9}{16}）$

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，數形結合思想，難度中檔．