Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的三個頂點B₁（0，-b），B₂（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B₁F⊥AB₂，則橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知條件列出方程，通過橢圓的幾何量的關系求解橢圓的離心率即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的三個頂點B₁（0，-b），B₂（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B₁F⊥AB₂，
可得：$\overrightarrow{{B}_{1}F}•\overrightarrow{A{B}_{2}}$=0，即b²=ac，即a²-c²-ac=0，
可得e²+e-1=0，e∈（0，1），
解得e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．