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11.已知二次函數f(x)=ax2+bx(a,b為常數且a≠0)滿足條件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有兩個相等的實數根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在實數m,n (m<n),使f(x)的定義域和值域分別是[m,n]和[2m,2n]?如果存在,求出m,n的值; 如果不存在,說明理由.

分析 (1)根據f(-x+5)=f(x-3)可以得到對稱軸是x=1,再根據方程f(x)=x有兩個相等的實數根,得到判別式等于0,列出方程組求出a,b,即可得答案.
(2)求出函數的最大值,確定n≤$\frac{1}{4}$,從而知當n≤$\frac{1}{4}$時,f(x)在[m,n]上為增函數.若滿足題設條件的m,n存在,則$\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2m}\\{f(n)=2n}\end{array}\right.$,從而可求m,n的值

解答 解:(1)∵f(-x+5)=f(x-3),
∴對稱軸是x=1,
得到-$\frac{b}{2a}$=1 ①
∵方程f(x)=x有兩個相等的實數根,即ax2+(b-1)x=0有兩個相等的實數根,
∴△=(b-1)2=0,∴b=1,代入①,
解得a=-$\frac{1}{2}$,
∴f(x)=-$\frac{1}{2}$x2+x.
(2)∵f(x)=-$\frac{1}{2}$(x-1)2+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$,f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],
∴2n$≤\frac{1}{2}$
∴n≤$\frac{1}{4}$
而f(x)的對稱軸為x=1,
∴當n≤$\frac{1}{4}$時,f(x)在[m,n]上為增函數.
若滿足題設條件的m,n存在,則$\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2m}\\{f(n)=2n}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$
∵m<n≤$\frac{1}{4}$.
∴m=-2,n=0,這時,定義域為[-2,0],值域為[-4,0].
由以上知滿足條件的m,n存在,m=-2,n=0.

點評 本題考查二次函數的性質,涉及函數的單調性和存在性問題,屬中檔題.

練習冊系列答案
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