Question

11．已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數且a≠0）滿足條件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m，n （m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m，n的值； 如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據f（-x+5）=f（x-3）可以得到對稱軸是x=1，再根據方程f（x）=x有兩個相等的實數根，得到判別式等于0，列出方程組求出a，b，即可得答案．
（2）求出函數的最大值，確定n≤$\frac{1}{4}$，從而知當n≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在[m，n]上為增函數．若滿足題設條件的m，n存在，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，從而可求m，n的值

解答 解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），
∴對稱軸是x=1，
得到-$\frac{b}{2a}$=1 ①
∵方程f（x）=x有兩個相等的實數根，即ax²+（b-1）x=0有兩個相等的實數根，
∴△=（b-1）²=0，∴b=1，代入①，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，
∴2n$≤\frac{1}{2}$
∴n≤$\frac{1}{4}$
而f（x）的對稱軸為x=1，
∴當n≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在[m，n]上為增函數．
若滿足題設條件的m，n存在，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$
∵m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，這時，定義域為[-2，0]，值域為[-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評 本題考查二次函數的性質，涉及函數的單調性和存在性問題，屬中檔題．