Question

16．已知f（x）=e^x-x²+b，曲線y=f（x）與直線y=ax+1相切于點（1，f（1））
（1）求a，b的值；
（2）求證：當x＞0時，e^x+（2-e）x-1≥x²．

Answer 1

分析 （1）求導數，由題設得a-f'（1）=e-2，a+1-f（1）=e-1+b，即可求a，b的值；
（2）由（1）得，f（x）=e^x-x²，設g（x）=e^x+（2-e）x-1-x²，x＞0，則g'（x）=e^x-2x+2-e，設h（x）=g'（x），則h'（x）=e^x-2，確定函數的單調性，即可證明結論．

解答 （1）解：f'（x）=e^x-2x．  
由題設得a=f'（1）=e-2，a+1=f（1）=e-1+b．
故a=e-2，b=0．…（4分）
（2）證明：由（1）得，f（x）=e^x-x²，設g（x）=e^x+（2-e）x-1-x²，x＞0．
則g'（x）=e^x-2x+2-e，
設h（x）=g'（x），則h'（x）=e^x-2，
當x∈（0，ln2）時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，
當x∈（ln2，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
又h（0）=3-e＞0，h（1）=0，且0＜ln2≤1，h（ln2）＜0，
所以?x₀∈（0，1），h（x₀）=0
所以當x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0；當x∈（x₀，1）時，g'（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）和（1，+∞）單調遞增，在（x₀，1）單調遞減，
又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e^x-x²-（e-2）x-1≥0，
即當x＞0時，e^x+（2-e）x-1≥x²．

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查構造法的運用，屬于中檔題．