Question

8．已知a＞0，b＞0，且2-log₂a=3-log₃b=log₆$\frac{1}{a+b}$，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{108}$．

Answer 1

分析 設∴-2+log₂a=-3+log₃b=log₆（a+b）=x，則a=2^x+2，b=3^x+3，a+b=6^x，由此能求出值．

解答 解：∵正數a，b滿足2-log₂a=3-log₃b=log₆$\frac{1}{a+b}$，
∴-2+log₂a=-3+log₃b=log₆（a+b）
設∴-2+log₂a=-3+log₃b=log₆（a+b）=x
則a=2^x+2，b=3^x+3，a+b=6^x，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{{6}^{x}}{{2}^{x+2}•{3}^{x+3}}$=$\frac{{2}^{x}•{3}^{x}}{4×{2}^{x}×27×{3}^{x}}$=$\frac{1}{108}$
故答案為：$\frac{1}{108}$

點評 本題考查代數和的值的求法，解題時要認真審題，注意對數性質的合理運用．