Question

17．光線l₁從點M（-1，3）射到x軸上，在點P（1，0）處被x軸反射，得到光線l₂，再經直線x+y-4=0反射，得到光線l₃，求l₂和l₃的方程．

Answer 1

分析 求得M（-1，3）關于x軸的對稱點為M'（-1，-3），則由直線l₂經過點M′和點P，再由點斜式求得l₂的直線方程．同理，設直線l₂與直線x+y-4=0的交點為N，求得N的坐標，求得P（1，0）關于直線x+y-4=0的對稱點為P'（x₀，y₀），根據l₃的經過點N和點P′，由點斜式求得l₃的方程．

解答 解：∵M（-1，3）關于x軸的對稱點為M'（-1，-3），則直線l₂經過點M′和點P，
又P（1，0），∴l₂的直線方程為$y=\frac{3}{2}（x-1）$．
設直線l₂與直線x+y-4=0的交點為N，由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}（x-1）\\ x+y-4=0\end{array}\right.$ 求得 $N（\frac{11}{5}，\;\frac{9}{5}）$．
設P（1，0）關于直線x+y-4=0的對稱點為P'（x₀，y₀），則有$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_0}+1}}{2}+\frac{y_0}{2}-4=0\\ \frac{y_0}{{{x_0}-1}}=1\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}+{y_0}-7=0\\{y_0}={x_0}-1\end{array}\right.$，解得P'（4，3），由l₃的經過點N和點P′，
可得l₃的方程為$y-3=\frac{{3-\frac{9}{5}}}{{4-\frac{11}{5}}}（x-4）=\frac{2}{3}（x-4）$，即2x-3y+1=0．

點評 本題主要考查反射定律的應用，用點斜式求直線的方程，屬于中檔題．