Question

8．當x∈R，|x|＜1時，有如下表述式：1+x+x²+…+xⁿ+…=$\frac{1}{1-{x}^{n}}$，
兩邊同時積分得：
${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$1dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$x²dx+…+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xⁿdx+…=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{1-x}$dx
從而得到如下等式：1×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）³+…+$\frac{1}{n+1}$×（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹+…=ln3-ln2．
請根據以上材料所蘊含的數學思想方法，計算：
C_n⁰×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$C_n¹×（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$C_n²×（$\frac{1}{3}$）³+…+$\frac{1}{n+1}$C_nⁿ×（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{n+1}$$[（\frac{4}{3}）^{n+1}-1]$．

Answer 1

分析 根據二項式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，f（$\frac{1}{3}$）=${∫}_{0}^{\frac{1}{3}}$f′（x）dx=$\frac{1}{n+1}（1+x）^{n+1}{|}_{0}^{\frac{1}{3}}$，整理即可得到結論．

解答 解：設f（x）=C_n⁰x+$\frac{1}{2}$C_n¹x²+$\frac{1}{3}$C_n²x³+…+$\frac{1}{n+1}$C_nⁿxⁿ⁺¹，
∴f′（x）=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
f（$\frac{1}{3}$）=${∫}_{0}^{\frac{1}{3}}$f′（x）dx=$\frac{1}{n+1}（1+x）^{n+1}{|}_{0}^{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{n+1}$$[（\frac{4}{3}）^{n+1}-1]$，
故答案為：$\frac{1}{n+1}$$[（\frac{4}{3}）^{n+1}-1]$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用．是道好題，解決問題的關鍵在于利用C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ．