Question

4．重慶八中大學城校區與本部校區之間的駕車單程所需時間為T，T只與道路暢通狀況有關，對其容量為500的樣本進行統計，結果如下：

T（分鐘）	25	30	35	40
頻數（次）	100	150	200	50

以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時間的概率．
（1）求T的分布列與P（T＜E（T））；
（2）某天有3位教師獨自駕車從大學城校區返回本部校區，記X表示這3位教師中駕車所用時間少于E（T）的人數，求X的分布列與E（X）；
（3）下周某天張老師將駕車從大學城校區出發，前往本部校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回大學城校區，求張老師從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘的概率．

Answer 1

分析 （1）以頻率估計頻率，即可取得T的分布列．求出期望，得到概率即可．
（2）判斷分布列是二項分布，然后列出分布列求出期望．
（3）設T₁，T₂分別表示往返所需時間，設事件A表示“從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘”，則P（A）=P（T₁=25）P（T₂≤45）+P（T₁=30）P（T₂≤40）+P（T₁=35）P（T₂≤35）+P（T₁=40）P（T₂≤30）求解即可．

解答 解：（1）以頻率估計頻率得T的分布列為：

T	25	30	35	40
P	0.2	0.3	0.4	0.1

∴E（T）=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分鐘），
P（T＜E（T））=P（T＜32）=0.2+0.3=0.5．
（2）X～B（3，$\frac{1}{2}$），P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（1-\frac{1}{2}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
（3）設T₁，T₂分別表示往返所需時間，設事件A表示“從離開大學城校區到返回大學城校區共用時間不超過120分鐘”，則
P（A）=P（T₁=25）P（T₂≤45）+P（T₁=30）P（T₂≤40）+P（T₁=35）P（T₂≤35）+P（T₁=40）P（T₂≤30）=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91．

點評 本題考查二項分布以及隨機變量的分布列，期望的求法，考查轉化思想以及計算能力．