Question

15．已知函數$f（x）=x+\frac{4}{x}\;\;，\;\;g（x）={2^x}+a$，若$?{x_1}∈[{\frac{1}{2}\;\;，\;\;3}]$，?x₂∈[2，3]，f（x₁）≥g（x₂），則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 由?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最小值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最小值，構造關于a的不等式，可得結論．

解答 解：當x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]時，由f（x）=x+$\frac{4}{x}$得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]單調遞減，在（2，3]遞增，
∴f（2）=4是函數的最小值，
當x₂∈[2，3]時，g（x）=2^x+a為增函數，
∴g（2）=a+4是函數的最小值，
又∵?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最小值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最小值，
即4≥a+4，解得：a≤0，
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查的知識是指數函數以及對勾函數函數的圖象和性質，考察導數的應用，函數的單調性問題，本題是一道中檔題．