Question

3．若不等式$\frac{t}{{{t^2}+2}}≤μ≤\frac{t+2}{t^2}$，對任意的t∈（0，1]上恒成立，則μ的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{1}{13}，2}]$
• B． [$\frac{2}{13}$，1]
• C． $[{\frac{1}{6}，6}]$
• D． $[{\frac{1}{3}，3}]$

Answer 1

分析 根據題意分別構造函數f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$、g（t）=$\frac{t+2}{{t}^{2}}$，對函數分別化簡后，利用函數的單調性分別求出最大值、最小值，結合恒成立即可求出μ的范圍．

解答 解：設f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$，其中t∈（0，1]，
因為函數y=$t+\frac{2}{t}$在（0，1]上單調遞減，
所以函數y=$t+\frac{2}{t}$在（0，1]上的最小值是3，
即函數f（t）=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$在（0，1]上的最大值是$\frac{1}{3}$，
設g（t）=$\frac{t+2}{{t}^{2}}$=$\frac{1}{t}+\frac{2}{{t}^{2}}$，且t∈（0，1]，
設x=$\frac{1}{t}$，則x∈[1，+∞），函數g（t）變為：y=2x²+x，
因為函數y=2x²+x在[1，+∞）上單調遞增，
所以函數y=2x²+x在[1，+∞）上最小值是3，
即$\frac{t+2}{{t}^{2}}$在（0，1]上的最小值是3，
因為$\frac{t}{{{t^2}+2}}≤μ≤\frac{t+2}{t^2}$對任意的t∈（0，1]上恒成立，
所以$\frac{1}{3}≤μ≤3$，
故選D．

點評 本題考查了恒成立問題轉化為求函數的最值問題，以及函數單調性的應用，考查構造法、換元法，轉化思想，化簡、變形能力．