Question

f（x）=ax（x-1）（a≠0）圖象的頂點在函數y=log₂x的圖象上，若h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x）=ax（x-1）（a≠0）圖象的頂點（

1

2

，-

a

4

），在函數y=log₂x的圖象上，可求出a值，進而得到f（x）的解析式，由函數圖象的對折變換得到函數y=|f（x）|的圖象，再由h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點，則函數y=|f（x）|的圖象與直線y=-m有且只有兩個交點，數形結合得到m的取值范圍．

解答： 解：f（x）=ax（x-1）（a≠0）圖象的頂點為（

1

2

，-

a

4

），
故-

a

4

=log₂

1

2

=-1，故a=4，
故f（x）=4x（x-1），
則函數y=|f（x）|的圖象如下圖所示：

若h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點，
則函數y=|f（x）|的圖象與直線y=-m有且只有兩個交點，
故-m＞1，或-m=0，
則m＜-1或m=0．

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，函數圖象的對折變換，函數的零點，是函數的綜合應用，難度中檔．