Question

如圖在邊長為2的正方形ABCD中，E為邊AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量

AP

=x

DE

+y

AC

，則x+y的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：建立坐標系，由正方形ABCD的邊長為2，求出向量

AP

=x

DE

+y

AC

=x（1，-2）+y（2，2）=（x+2y，-2x+2y）=（2cosθ，2sinθ），用cosθ，sinθ表示x和y，根據cosθ，sinθ 的取值范圍，再結合x+y的單調性，求出x+y的最小值．

解答： 解：以A為原點，以AB所在的為x軸，建立坐標系，由正方形ABCD的邊長為2，
則E（1，0），C（2，2），D（0，2），A（0，0）．   
設 P（2cosθ，2sinθ），0≤θ≤

π

2

，
∴

AC

=（2，2）． 
再由向量

AP

=x

DE

+y

AC

=x（1，-2）+y（2，2）=（x+2y，-2x+2y）=（2cosθ，2sinθ），
∴

x+2y=2cosθ -2x+2y=2sinθ

，
解得：

x= 2 3 (cosθ-sinθ) y= 1 3 (2cosθ+sinθ)

∴x+y=

2

3

•2cosθ-

1

6

•2sinθ=

4

3

cosθ-

1

3

sinθ．
由題意得 0≤θ≤

π

2

，
∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．
求得（x+y）′=-

4

3

sinθ-

1

3

cosθ＜0，
故x+y在[0，

π

2

]上是減函數，故當θ=

π

2

時，即cosθ=0，這時x+y取最小值為-

1

3

，
故答案為：-

1

3

．

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算，根據cosθ，sinθ 的取值范圍求三角函數式的最值，利用導數研究函數的單調性．用cosθ，sinθ表示x和y是解題的難點，屬于中檔題．