Question

已知函數f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），ω＞0，若f（x）的圖象上相鄰兩個對稱中心的距離大于等于π．
（1）求ω的取值范圍；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=

3

，當ω最大時，f（A）=1，求△ABC的面積最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，根據f（x）的圖象上相鄰兩個對稱中心的距離大于等于π，得到周期的一半大于等于π，利用周期公式即可求出ω的取值范圍；
（2）把ω的最大值代入f（A）=1，求出A的度數，利用余弦定理列出關系式，把A的度數代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意知f（x）=

m

•

n

=cos²ωx-sin²ωx+

3

sin2ωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵

T

2

=

1

2

×

2π

2ω

≥π，ω＞0，
∴0＜ω≤

1

2

；
（2）由（1）知ω_max=

1

2

，f（A）=2sin（A+

π

6

）=1，即sin（A+

π

6

）=

1

2

，
又∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

5π

6

，即A=

2π

3

，
由余弦定理得a²=3=b²+c²+2bc×

1

2

≥3bc，即bc≤1．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．