Question

函數f（x）=2sinxcosx+m（sinx+cosx）-2，
（1）當m=1時，求f（x）的值域；
（2）若對于任意的x∈R，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數的最值,函數的值域

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，設sinx+cosx=t，得到t=

2

sin（x+

π

4

），從而有t∈[-

2

，

2

]．然后，結合二次函數的圖象求解；
（2）首先，根據（1）的得到y=t²-1+mt-2，從而轉化成t²+mt-3＜0，t∈[-

2

，

2

]．從而有

f(- 2 )＜0 f( 2 )＜0

，即可求解其范圍．

解答： 解：（1）∵m=1，
∴f（x）=2sinxcosx+sinx+cosx-2，
設sinx+cosx=t，
∴t=

2

sin（x+

π

4

），
∴t∈[-

2

，

2

]．
2sinxcosx=t²-1，
∴y=t²-1+t-2
=（t+

1

2

）²-

13

4

，
∵t∈[-

2

，

2

]．
∴y∈[-

13

4

，

2

-1]．
∴f（x）的值域[-

13

4

，

2

-1]；
（2）根據（1），得
設sinx+cosx=t，
∴t=

2

sin（x+

π

4

），
∴t∈[-

2

，

2

]．
2sinxcosx=t²-1，
∴y=t²-1+mt-2
∴t²+mt-3＜0，t∈[-

2

，

2

]．
∴

f(- 2 )＜0 f( 2 )＜0

，
解得m∈（-

2

2

，

2

2

）．

點評：本題重點考查了三角恒等變換公式、輔助角公式等知識，屬于中檔題．