Question

2．某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（Ⅰ）請在答題卡上將如表數據補充完整，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）圖象上所有點向左平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度，得到y=g（x）圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據表中已知數據可得A，可求$\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}$，解得ω，φ的值，即可求得函數解析式，即可補全數據．
（Ⅱ）由三角函數平移變換規律可求g（x）的函數解析式，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 解：（Ⅰ）根據表中已知數據可得：A=5，$\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}$，
解得$ω=2，φ=-\frac{π}{6}$．
數據補全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

且函數表達式為：f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=5sin（2x-\frac{π}{6}）$，
因此 $g（x）=5sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x+\frac{π}{6}）$．
因為y=sinx的對稱中心為（kπ，0），k∈Z．
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$，
解得：$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，k∈Z．
即y=g（x）圖象的對稱中心為：$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，0）$，k∈Z，
其中離原點O最近的對稱中心為：$（-\frac{π}{12}，0）$．

點評 本題主要考查五點法作圖以及三角函數的圖象和性質，考查學生的運算能力和數形結合思想的應用，屬于基礎題．