Question

12．函數f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-2cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（1）求函數y=f（x）的值域；
（2）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區間[-$\frac{π}{2}$，π]上的增區間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，利用正弦函數的有界性可求函數y=f（x）的值域；
（2）利用f（x）的最小正周期為π，可求得ω=1，及y=sinx在每個閉區間[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上為增函數即可求得f（x）在區間[-$\frac{π}{2}$，π]上的增區間．

解答 解：（1）f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-2cos （2ωx+π）
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2sin²ωx+2cos2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+1
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，…（4分）
因為-1≤sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）≤1，所以函數y=f（x）的值域為[-1，3]…（6分）
（2）因為f（x）的最小正周期為π，所以ω=1，y=sin x在每個閉區間[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上為增函數，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在每個閉區間[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）上為增函數．…（8分）
當k=0和k=1時，得f（x在區間[-$\frac{π}{2}$，π]上的增區間為[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．…（12分）

點評 題考查三角函數中的恒等變換應用，突出考查正弦函數的圖象與性質，考查轉化思想與化歸意識，屬于中檔題．