Question

2．數列{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n是{a_n}的前n項和．若S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令${_{n}}=\frac{1}{（{{log}_{2}}{{a}_{n}}+1）（{{log}_{2}}{{a}_{n+1}}+1）}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設公比為q，且q＞1，由等比數列的通項公式及等差中項的性質，列出方程組求出a₁、q，即可求出通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和對數的運算性質化簡b_n，利用裂項相消法求出前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）設公比為q，且q＞1，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=7}\\{6{a}_{2}=（{a}_{1}+3）+（{a}_{3}+4）}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{6{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}+7}\end{array}\right.$，解得解得a₁=1，q=2，
所以a_n=2^n-1；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ${{a}_{n}}={{2}^{n-1}}$，
則log₂a_n+1=n，log₂a_n+1+1=n+1，
所以$_{n}=\frac{1}{（{log}_{2}{a}_{n}+1）（{log}_{2}{a}_{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
則T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$        （12分）

點評 本題考查了等比數列的通項公式，等差中項的性質，以及數列求和方法：裂項相消法，考查方程思想，化簡、變形能力．