Question

7．定義：以原雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線為原雙曲線的共軛雙曲線，已知雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的共軛雙曲線為C，過點A（4，4）能做m條直線與C只有一個公共點，設這m條直線與雙曲線C的漸近線圍成的區域為G，如果點P、Q在區域G內（包括邊界）則$|{\overrightarrow{PQ}}|$的最大值為（　　）

• A． 10
• B． $4\sqrt{10}$
• C． 17
• D． $2\sqrt{17}$

Answer 1

分析 求出共軛雙曲線方程，判斷A的位置關系，求出m，畫出圖形，判斷PQ的位置，求解即可．

解答 解：雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的共軛雙曲線為C為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，畫出雙曲線圖形，可知A在雙曲線內部，與雙曲線只有一點公共點，則m=2，
區域G如圖：顯然當PQ分別與區域的EF重合時，則$|{\overrightarrow{PQ}}|$取得最大值．雙曲線的漸近線方程為：y=±2x，則EA的方程為：y-4=-2（x-4），AF的方程為：y-4=2（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{2x+y-12=0}\end{array}\right.$可得E（3，6）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$可得F（1，-2）．
則$|{\overrightarrow{PQ}}|$的最大值為：$\sqrt{（3-1）^{2}+（6+2）^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，涉及線性規劃，考查轉化思想以及計算能力．