Question

17．成書于公元五世紀的《張邱建算經》是中國古代數學史上的杰作，該書中記載有很多數列問題，說明古人很早就注意到了數列并且有很深的研究，從下面這首古民謠中可知一二：
南山一棵竹，竹尾風割斷，剩下三十節，一節一個圈．頭節高五寸^①，頭圈一尺三^②．
逐節多三分^③，逐圈少分三^④．一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠？
此民謠提出的問題的答案是（　�。�
（注：①五寸即0.5尺．②一尺三即1.3尺．③三分即0.03尺．④分三即一分三厘，等于0.013尺．）

• A． 72.705尺
• B． 61.395尺
• C． 61.905尺
• D． 73.995尺

Answer 1

分析 設從地面往長，每節竹長為a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，則{a_n}是以a₁=0.5為首項，以d′=0.03為公差的等差數列，設從地面往上，每節節圈長為b₁，b₂，b₃，…，b₃₀，則{b_n}是以b₁=1.3為首項，d=-0.013為公差的等差數列，由此能求出一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂的行程．

解答 解：∵每竹節間的長相差0.03尺，
設從地面往長，每節竹長為a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，
∴{a_n}是以a₁=0.5為首項，以d′=0.03為公差的等差數列，
由題意知竹節圈長，后一圏比前一圏細1分3厘，即0.013尺，
設從地面往上，每節節圈長為b₁，b₂，b₃，…，b₃₀，
由{b_n}是以b₁=1.3為首項，d=-0.013為公差的等差數列，
∴一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是：
S₃₀=$（30×0.5+\frac{30×29}{2}×0.03）$+[30×1.3+$\frac{30×29}{2}×（-0.013）$]=61.395．
故選：B．

點評 本題考查等差數列有生產、生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．