Question

9．以橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的頂點為頂點，離心率為2的雙曲線方程（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓的頂點坐標，然后分類討論求得雙曲線方程．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a²=16，b²=9，
∴橢圓的頂點坐標為（±4，0），（0，±3）．
若雙曲線的頂點在x軸上，則a=4，由e=$\frac{c}{a}=2$，得c=8，∴b²=c²-a²=48．
雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1；
若雙曲線的頂點在y軸上，則a=3，由e=$\frac{c}{a}=2$，得c=6，∴b²=c²-a²=27．
雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
綜上，雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查雙曲線方程的求法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．