Question

7．已知a＞0，b＞0，若不等式$\frac{mab}{3a+b}≤a+3b$恒成立，則m的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 4
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 ∵a＞0，b＞0，∴不等式$\frac{mab}{3a+b}≤a+3b$恒成立⇒m≤$\frac{（3a+b）（a+3b）}{ab}=\frac{10ab+3{a}^{2}+3{b}^{2}}{ab}$=10+$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}}{ab}$，求出=10+$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}}{ab}$的最小值即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，∴不等式$\frac{mab}{3a+b}≤a+3b$恒成立⇒m≤$\frac{（3a+b）（a+3b）}{ab}=\frac{10ab+3{a}^{2}+3{b}^{2}}{ab}$=10+$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}}{ab}$，∵10+$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}}{ab}≥10+\frac{2\sqrt{9{a}^{2}{b}^{2}}}{ab}=16$，∴m≤16，故選：D

點評 本題主要考查基本不等式的應用，函數的恒成立問題，屬于基礎題．