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2.過拋物線x2=4y的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,2|AF|=|BF|+|BA|,則|AB|=(  )
A.3B.$\frac{7}{2}$C.4D.$\frac{9}{2}$

分析 由題意可設直線方程y=kx+1,與拋物線方程聯立,化為關于y的一元二次方程,利用根與系數的關系得到A,B的縱坐標的乘積,結合2|AF|=|BF|+|BA|,求得A,B的縱坐標,則|AB|可求.

解答 解:由拋物線x2=4y,得F(0,1),
若直線l⊥x軸,不合題意;
設直線l的方程為y=kx+1,
代入x2=4y,得y2-(4k2+2)y+1=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=4k2+2,y1y2=1,①
∵|BF|+|BA|=2|FA|,∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|,
∴|FA|=2|BF|,
即y1+1=2(y2+1),即
代入①得${y}_{2}=\frac{1}{2}$,∴y1=2,
則|AB|=${y}_{1}+{y}_{2}+2=\frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}$.
故選:D.

點評 本題考查拋物線的簡單性質,考查運算求解能力,推理論證能力,考查化歸與轉化思想,是中檔題.

練習冊系列答案
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