Question

2．過拋物線x²=4y的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，2|AF|=|BF|+|BA|，則|AB|=（　　）

• A． 3
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由題意可設直線方程y=kx+1，與拋物線方程聯立，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系得到A，B的縱坐標的乘積，結合2|AF|=|BF|+|BA|，求得A，B的縱坐標，則|AB|可求．

解答 解：由拋物線x²=4y，得F（0，1），
若直線l⊥x軸，不合題意；
設直線l的方程為y=kx+1，
代入x²=4y，得y²-（4k²+2）y+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，①
∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，
∴|FA|=2|BF|，
即y₁+1=2（y₂+1），即
代入①得${y}_{2}=\frac{1}{2}$，∴y₁=2，
則|AB|=${y}_{1}+{y}_{2}+2=\frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．