Question

17．已知函數f（x）=ln（ex）-kx．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若?x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論k的范圍求出函數的單調區間即可；
（2）求出x=$\frac{1}{k}$是函數的最大值點，得到f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk≤0，解出即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-k，
①若k＞0，x∈（0，$\frac{1}{k}$）時，f′（x）＞0，x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）時，f′（x）＜0，
f（x）的單調遞增區間是（0，$\frac{1}{k}$），單調遞減區間是（$\frac{1}{k}$，+∞）；
②k≤0時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0恒成立，
∴f（x）的單調遞增區間是（0，+∞），
綜上①②知：k≤0時，f（x）的單調遞增區間是（0，+∞），無單調遞減區間；
k＞0時，f（x）的單調遞增區間是（0，$\frac{1}{k}$），單調遞減區間是（$\frac{1}{k}$，+∞）．
（2）由（1）知：k≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
且x→+∞時，f（x）→+∞（或f（1）=1-k＞0），
∴f（x）≤0恒成立是假命題；
當k＞0時，由（Ⅰ）知：x=$\frac{1}{k}$是函數的最大值點，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk≤0，
∴k≥1，
故k的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．