Question

8．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a≠b，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}sinAcosA-\sqrt{3}sinBcosB$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據三角恒等變換化簡cos²A-cos²B=$\sqrt{3}sinAcosA-\sqrt{3}sinBcosB$，求出A+B與C的值；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，即可求出周長a+b+c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由cos²A-cos²B=$\sqrt{3}sinAcosA-\sqrt{3}sinBcosB$，
得$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2B，…（2分）
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2A-$\frac{1}{2}$cos 2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2B-$\frac{1}{2}$cos 2B，
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B-$\frac{π}{6}$），…（6分）
由a≠b，得A≠B，又A+B∈（0，π），
得2A-$\frac{π}{6}$+2B-$\frac{π}{6}$=π，
即A+B=$\frac{2π}{3}$，所以C=$\frac{π}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
c²=a²+b²-2ab•cosC3=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab…（8分）
$＞{（a+b）^2}-3\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{4}=\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{4}$，
則$a+b＜2\sqrt{3}$，…（10分）
又$a+b＞c=\sqrt{3}$，
$\sqrt{3}＜a+b＜2\sqrt{3}$，
$2\sqrt{3}＜a+b+c＜3\sqrt{3}$；
所以三角形周長的取值范圍為$（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}\left.{\;}）$．…（12分）

點評 本題考查了三角恒等變換以及余弦定理和基本不等式的應用問題，是綜合性題目．