Question

8．（1）已知$cos（α+\frac{π}{6}）-sinα=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，求$sin（α+\frac{5π}{6}）$的值；
（2）已知$sinα+sinβ=\frac{1}{2}，cosα+cosβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的余弦函數公式化簡已知等式可得cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{3}{5}$，進而利用誘導公式化簡所求即可得解．
（2）將已知等式兩邊平方后相加，利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$cos（α+\frac{π}{6}）-sinα=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα-sinα=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，可得：cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{3}{5}$，
∴$sin（α+\frac{5π}{6}）$=sin（$\frac{π}{6}$-α）=cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{3}{5}$．
（2）∵$sinα+sinβ=\frac{1}{2}，cosα+cosβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴可得：sin²α+sin²β+2sinαsinβ=$\frac{1}{4}$，①
cos²α+cos²β+2cosαcosβ=$\frac{1}{2}$，②
∴①+②可得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α-β）=$\frac{3}{4}$，
∴cos（α-β）=$-\frac{5}{8}$．

點評 本題主要考查了兩角和的余弦函數公式，誘導公式，兩角差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．